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Tableaux à 3 variables |
Tableaux de Karnaugh à 3 variables
Lorsqu’un système présente 3 variables d’entrées le principe est le même.
Il faut remarquer néanmoins pour la construction de ce tableau que le code utilisé est le code binaire réfléchi, que ce tableau possède un axe de symétrie vertical, et qu’enfin les colonnes extrêmes de ce tableau peuvent être virtuellement déplacées pour être mise côte à côte pour faciliter les regroupements dans la mesure ou une seule variable évolue d’une case à l’autre.
Les cases d’un diagramme de Karnaugh ne peuvent pas être placées dans un ordre quelconque. Il est nécessaire que le passage d’une case à une case adjacente (case ayant un côté commun) se traduise par le changement d’état d’une seule variable.
Remarque: le regroupement de cases dans le but de simplifier une fonction ne peut se faire que pour un nombre de case adjacente égal à {1 ;2 ;4 ;8 ;16} soit ( 2n ). Chaque regroupement correspond à un produit logique dans lequel on ne prend en compte que les variables communes aux cases regroupées.
Méthode de simplification d’une fonction logique
Pour n variables d'entrées ⇒ Tableau de Karnaugh à 2n cases.
- Établir la table de vérité du dispositif à réaliser.
- Construction du tableau de Karnaugh avec le marquage des « 1 » et des « 0 ».
- Regroupement des cases adjacentes marquées d’un « 1 » (groupe de .. , 16, 8, 4, 2 ,1).
- Une case marquée d’un « 1 » peut être utilisée plusieurs fois dans les regroupements.
- Toute case marquée d’un « 1 » doit participer au moins à un regroupement (ce dernier pouvant être constitué d’une seule case ).
- Rechercher les variables qui ne changent pas pour les regroupements et en déduire le produit.
- Réaliser la somme des produits pour obtenir l’équation simplifiée.
- Exemple 1
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premier groupement c=0 et a=0 ⇒ c.a |
deuxième groupement c=1 et a=1 ⇒ c.a |
ce qui donne:
L’équation de sortie sera donc S = c.a + c.a
- Exemple 2
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premier groupement c=1 et a=0 ⇒ c.a |
deuxième groupement b=0 ⇒ b |
ce qui donne:
L’équation de sortie sera donc S = c.a + b
Exercice 1
Affichage du chiffre des dizaines de secondes ( et des dizaines de minutes) d'une horloge à affichage numérique. Trois variables c, b et a codées en binaire pur fournissent la valeur des dizaines variant de 0 à 5 donc. on utilisera un afficheur 7 segments à cathode commune.
Table de vérité du dispositif
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c |
b |
a |
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SA |
SB |
SC |
SD |
SE |
SF |
SG |
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Affichage |
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0 |
0 |
0 |
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1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
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0 |
0 |
1 |
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0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
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0 |
1 |
0 |
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1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
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0 |
1 |
1 |
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1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
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1 |
0 |
0 |
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0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
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1 |
0 |
1 |
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1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
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Recherche de l'équation de SA
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premier groupement b=1 ⇒ b |
deuxième groupement c=0 et a=0 ⇒ c.a |
troisième groupement c=1 et a=1 ⇒ c.a |
ce qui donne:
L’équation de sortie sera donc SA = b + c.a + c.a
Recherche de l'équation de SB
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premier groupement c=0 ⇒ c |
deuxième groupement a=0 ⇒ a |
ce qui donne:
L’équation de sortie sera donc SB = c + a
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Recherche de l'équation de SC |
Recherche de l'équation de SE |
Recherche de l'équation de SF |
Recherche de l'équation de SG |
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ce qui donne: SC = b + a |
ce qui donne: SE = c.a |
ce qui donne: SF = c + b.a |
ce qui donne: SG = c + b |
Synthèse:
SA = b + c.a + c.a ; SB = c + a ; SC = b + a ; SD = SA ; SE = c.a ; SF = c + b.a ; SG = c + b
Schéma structurel du dispositif ( Aff_7seg_3v.pdsprj )
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